關於微積分的公式 - 學習

※ 引述《ckjeans (Mr. Lonely)》之銘言：
: ※ 引述《Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)》之銘言：
: : 每次看到這樣的考生，我自己都覺得很無奈
: : 其實應該有不少人都可認同一件事，就是推導∫dx/(1+x^2)是很簡單且相當迅速的事情
: : 甚至是在心中演算一次就行了，很快。
: : 但是卻不少人想藉著補習班一步登天
: : 也許這些人是在學校時太混了，沒學好
: : 也許這些人是沒學過，想轉換人生跑道，所以跑到了補習班
: : 嗯..有很多種可能
: : 不管是甚麼原因，我都想對這些人說：
: : 「能不能再給自己一點時間呢？」
: : 「再晚個一年，你覺得如何？這一年的代價會為你帶來多少進步呢？」
: : 你的腦袋絕對可以理解這一切，將之視為理所當然，但是你需要時間...
: : 你靠記憶的方式考上研究所，這真的是好事嗎？
: : 「這種研究所，出來會有人要嗎？」
: : 你到底在研究什麼？研究怎麼背嗎？
: : 我真的希望這些人好好想一想，你到底是為了甚麼而去補習、學這些東西。
: : 「靠這種方式上的研究所，在那畢業後，你確定找到的薪水真的會比較高！？」
: : 「所以你未來的老闆會傻到分不清考上某研究所的人的程度是如何？」
: : 很多人都會說出許多不可抗力的因素
: : 可是其實這正是要考上好研究所必須克服的啊！哪是你說考就考的？
: : 多花點時間去想想你的動機，「動機決定結果」。
: 其實有時候"背" 並沒有甚麼不好
: 有的人天資好 眼睛看著數學式 他就能了解其中的意義
: 有的人可能要手抄好幾張紙 才能勉強把這數學式背下來
: 但這又何妨
: 天資不如人 多努力一點 這並不丟臉
: 只要夠努力 天資的差距總是可以慢慢彌補
: 背久了 背熟了 其實也就懂了
: 補習只是學校外的一條路
: 只要學得會 補習也沒啥丟臉的
: 如果真的經濟有困難
: 網路上還有很多線上課程
: 例如:
: http://webcast.berkeley.edu/courses.php
: 天資是父母給的 不能強求
: 但努力是自己決定的
: 不要被別人的三言兩語
: 讓放棄了讓自己更進一步的機會
: 加油

我看我直接回文好了

我是讀高中上來的，為什麼我對於你說的"背"很敏感呢？

因為從我出生到現在，我沒看過有人能靠記憶的方式將理科讀好，沒半個。



對我而言，什麼是讀好？

我講高中，高職數學不清楚。



段考每次都90up，大考都90up，最後指考還是90up。

(我不太想跟大家戰粗心，重點也不是這個..SO..嗯)



靠背誦的人，不理解的人絕對不可能將觀念靈活的用在題目上

我自己也有當家教，教了不少人，話說我以前還是靠教人數學的方式來提升自己程度。

（其實是想追她，但還是失敗了@_@"）



每次教完，很多人總是會問我一句..

「所以遇到這種題目/題型，就是_____________嗎？」

我都會回：「呃...也許吧」



這種心情是很複雜的，很想跟他說不是，但是又說不出口。


我們台灣人很習慣性地會去歸納每個原理(面)，得到一個結論(點)。但是很少人能從

點開始向外思考，擴展成一個面。





數學要學好，或者，理科要學好，就是要從一開始學習時，按部就班的跟著

老師的進度，去看課本，上網查資料，跟同學討論，每個細節。

發現自己錯誤時，不是傻傻地把它背下來！

你這樣能考NTUEE我隨便你，約出來我請你吃飯，

請你跟我分享你是怎樣在理科背多分的。



你要做的事情是！！

請看好了！！！

就是【先問為什麼自己不對、錯在哪，再問到底該怎麼算？】

好啦有人會說我先問後面的問題再問前面的行不行？當然可以= =

重點是要理解自己為什麼錯，下次才不會再犯。





不懂就要問，就這麼簡單，打開你的嘴是很難喔？

算數學不要用抄的，你要做的事情是

仔細想想為什麼可以從第N步想到第N+1步...


這個邏輯是數學的精華，很多人學數學不知道學到哪裡去

數學重點不是在公式與結論，你懂嗎？



重點是，那個思考過程，邏輯要嚴謹，思考要周詳，觀念與條件要分的清

只有這樣，你才能以觀念打天下，而不是以題庫打天下。


前幾篇，有人說算數學不一定是數大才是美，我很認同，只是我那時覺得

可能還不必刻意再去強調一下這點，因為實在是很難說清楚..這想法。



有時我們無法直接從看書上的敘述而真的理解那句話的意思。

讀過微積分的人一定看過連續性的ε-δ定義。



「對任意的正實數ε＞0，存在一個正實數δ＞0，使得對於任意定義域I中的

ｘ屬於I，只要x滿足c-δ＜x＜c+δ，就有f(c)-ε＜f(x)＜f(c)+ε成立。」


你現在就將這定義抄下來，去做一個測試。

你去問老師這句，跟他說你不懂，接著你可能會很直覺得跳出一句話

「可不可以給我個例子？例如？」




所以這代表著，我們需要例子去讓我們更加理解這到底是甚麼意義。

嚴謹一點將之稱為找個例子讓自己了解，換句話說就是找那個fu。


所以做題目也是一樣的意思，你要從題目裡面去找這觀念的精隨。

那有沒有方法可以測試自己到底會了沒呢？

因為我題目如果做對了，那就只是做對了，自己可能都還覺得有點不踏實。



有方法的，就是去教人，當你教會越多人，你就越懂了。

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所以說理科到底是怎樣才能讀好？

讀懂他的定義，邏輯，更強的會想知道「為什麼有人會想出這個定義？有甚麼用？」

接著就是做些題目，讓自己大腦跑一次這個邏輯，以∵∴∵∴符號所連接的

每一句話，看看自己是不是能夠跑的順，強的人在學習數學的同時，還會去

找到他相對應的物理意義、應用。


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哦哦原來高中學的電力線、電通量跟法拉第定律中的面積分有關，原來dirac function

跟什麼有關，原來工數laplace transform跟電子學中的頻率做圖與時間做圖有關，

原來向量是想描述現實生活中具有大小、方向的物理感覺，將之感覺量化所需的工具。

原來相量可以用來描述電路學中的初始相位角，對於同頻電路，會簡化相當

多的計算過程。哦哦原來複數對量子力學有很大的幫助，哦哦原來

向量的起源是複數..。原來這微分方程代表的是F=ma=mx''

原來這微分方程代表的是RLC電路。微積分中的題目，之所以會經常出現arctan，

似乎跟旋度、stokes' theorem、Green theorem有關

原來Fourier series跟繩波的組成有關，這個B.C.是來自於繩子固定於兩端。

原來Fourier series跟線性代數中的向量空間有關，原來這用了orthogonal

的性質，原來他之所以要寫為一個級數是因為他是全解的線性組合。

那為什麼一定要組合後才是解咧？f(x)=C1cosλ1x可不可，不可！為什麼？

從向量空間就可發現這根本不能這樣寫，就像你不會告訴我 3+3i = constant * i一樣

哦哦原來這又與展延有關哪。

原來這個熱傳題目是來自於對秤性，dT/dx|x=0 =0原來其實在x=0不可微，

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沒定義的0 是要怎麼微？那為什麼會這樣呢？就是因為symmetrical嘛。

哦哦原來熱傳導中的x/sqrt(4αt) dimensionless factor跟PDE中的

ut = α△u的推導有關。原來偏微分其實也是猜出來的...


原來偏微分的通解跟梯度的想像有關..原來△T=0代表的是熱傳中的穩定態呀..哦哦

原來)!#&^#!&#!#!(!#

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當你能夠理解你所學的東西到底是甚麼，當你願意花心思去跟人討論

這數學的應用，再花時間抓個Maple、GSP畫圖找fu，除此之外

還去Wiki找資料，再去數學板物理板爬文，更了解這數學的應用，

無聊再去挑些難題來做做看，而且還願意主動去幫助同學解決問題時。




你能不強嗎？

所以我為什麼不建議背？這麼多東西背到海枯石爛也背不完的。

一點點就還可以，但重點是這絕對不可能是長遠之計。

背到最後你就會放棄了。沒放棄是因為還不夠多，背到最後能搞懂那也只是

僥倖，在你學習的過程中剛好遇到了一些場合，讓你潛移默化的去

看見了它實際的用途與做了不少測試來驗證自己的想法，最後才懂的。



理解其意義並且主動多花時間去了解認識它、喜歡它，才是學好理科的王道。

好啦，如果你只是想應付一下考試，那就背吧，花少時間考高分，也蠻聰明的。

心態跟我不同就是了..


我對這討論串的意見就發表到這了，一直回文也很累..該說的也差不多說完了，

原po加油。
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