公司大掃除受傷可以申請勞保嗎 - 大掃除

我的工作內容是不會碰到危險啦，但是剛好昨天公司大掃除我負責清洗飲水機，不小心被熱水燙傷整隻手(5%二級燙傷，國泰的醫生說的)，是還可以打字啦，但是我第一時間去醫院(公司旁邊剛好是國泰醫院)自己用健保卡看診，發現就算用健保也不少錢，而且還每天都要複診一次。回家後我老婆又帶我去一家專門看燙傷的醫院(但是是沒有健保要自費的)每次要600元共一周(醫生說需要7次診療期)那這樣一算就不少錢了。所以我就想申請勞保或是公司的團保(公司的團保是國泰的意外險)，但是我們公司的人資說只能申請其中一項，而且只跟我要醫生證明。
我想請問:
1.只能申請一項，那當初何必保勞保及團保兩種呢?
2.我也沒打算賺保險費，只是自負額真的不少，聽說申請勞保可以免自負額?
3.公司只有跟我收醫生證明(不是診斷證明書喔)，那怎麼知道我付多少錢呢?
4.我沒有因此而請假，還利用午休及下班後去看醫生的，聽說勞保只賠因公住院的，我這種沒有住院的不算。
5.我同事2個月前，下班途中車禍住院15天，公司說會幫他申請勞保(因為公司付他半薪而已)一直沒有下文，我同事打電話去勞保局問，結果勞保局說根本沒有收到申請!這...是不是公司故意的啊?而且公司也沒打算幫她申請自付額(他自付額約20000，因為有自己去復健的費用)
6.我跟同事只能自己私下討論，因為好像申請勞保會讓公司有記缺失，人資一付我有幫忙呀的樣子，卻都沒有下文，所以公司好像想就這樣算了....那我每個月扣的勞保費是扣辛酸的喔....
請熟悉的大大幫忙教教我。