關於微積分的公式 - 學習

※ 引述《likii (Likii)》之銘言：
: 各位好，第一次在這版發文～^^
: 是這樣的，最近在準備插大考試，有微積分這個科目
: 最頭痛的就是公式很難背
: 我指的公式是一些基本的微分積分公式
: 如
: 1 -1
: ∫-------- dx = tan x +C
: 1+x^2　　　　　　　　　　　　　這種
: 不知道為什麼總是記不住（因為都長得很像吧=_=）
: 當初在學微分的時候也會推導，可是就是記不住
: 總而言之就是有理解，可是臨時又寫不出來
: 總不能在寫考卷的時候
: 又馬上在旁邊畫圖還是什麼的重新推導吧
: （以前算三角函數都用畫圖記，都覺得有點慢了，更何況是重新推公式...）
: 時間會不夠的……Orz
: 請問各位有沒有什麼方法可以記憶這些公式呢ˊˋ
: 感謝不盡～～

為什麼要記？

y = arctanx

tany = x

2
sec y * y' = 1

y' = 1/(secy)^2 = 1/[1 + (tany)^2] = 1/(1+x^2)

-1
∴∫y'dx = ∫dx/(1+x^2) = y = tan x


-1
無聊時可以自己試試看∫tan x dx = ?


技巧有部分一樣，又有點不一樣，反正這沒有相當難就是了^^"


同理可得對arcsinx、arccosx、...的積分答案

我覺得比較需要點技巧的只有∫secxdx而已，這跟找積分因子是差不多感覺。




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如果你學過複變，那麼你也可以用另一種思考來想這題

不過複變的想法..在這裡不能解決不定積分，必須是暇積分才行，

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如果積分範圍從0到∞，那麼從複變的角度就是有個複數z

他從(0,0)沿著實數軸積分到+∞，接著再繞個R=∞的半圓回來到-∞

此時再繞回(0,0)


重點有兩個

1.此積分路徑包含到你的問題

2.此積分路徑算的出答案

這是為什麼有這路徑的原因，能算出答案的路徑其實並沒有相當多種。


參考：http://0rz.tw/ALASO


此時f(z) = 1/(1+z^2)，找它在剛剛積分路徑所圍的區域裡的residue

所以在積分範圍內的奇點就是+i，留數值就是1/2i




------
-1
1/(1+z^2) = 1/(z+i)(z-i) = [1/(z+i)] * (z-i)

b1 = 1/(z+i) = 此f(z)以z=i為展開中心做Laurent series展開的-1次冪項係數

b1(z=i代入)　= f(z)在z=i的留數值

------



n
∮f(z)dz = 2πi*Σ Res(zk) = 2πi * (1/2i) = π
k=z

而在R=∞的半圓弧上，θ從0到π，這個積分可以被證明得知為零。

證明方法不會太難，你把要積分的東西用極座標表示，接著掛上lim(R->∞)

就可以發現是零了。

那因為它是偶函數，所以-∞ -> 0 -> +∞ = 2 * 0 -> +∞

+∞ +∞
所以 ∮f(z)dz = π = ∫dx/(1+x^2) = 2*∫dx/(1+x^2)
　　　　 　　 -∞　　　　　　　 0


+∞
所以　∫dx/(1+x^2) = π/2
0



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複變有本書還不錯，書名好像就是complex variable，作者是churchill

這本淺顯易懂，我之前暑假花2個禮拜就讀完7章了，沒做後面練習題，但是

前面的example我都有做，也是每一個字慢慢看，還不錯。




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觀念通，什麼都通

觀念不通....很多都不通了

有空時就自己推導這些東西，多想那個"邏輯"

搭公車可以想、走路可以想、上廁所也可以想..想通之後就會發現微積分很神奇

如果有學過複變，那更會發現這真是有夠美的


這些東西不是說一定要每天花1hr坐在書桌前才能弄懂

只要你肯利用只有腦袋能思考、卻沒事情做的時間，那就夠了～


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